¡Elige una de las tres puertas!

Hoy una buena parte de los blogs que sigo hablan de la tremenda muerte de David Foster Wallace (la otra parte de los blogs que leo siguen desentrañando las novedades de la pasada keynote de Apple o de la confirmación del nuevo aparatito de HTC, el HTC Touch HD) y aunque he estado tentado de escribir sobre ello en la última entrada que escribo desde esta habitación (el cambio, el inexorable cambio) no me veo capacitado para hacerlo (y ya lo han hecho en Un mundo flotante, Una ciudad llamada perdición, Sigo sin querer ir al cielo, Diario de lecturas, El rincón de Alvy Singer, El hombre que salió de la tarta, Papel en blanco, etc. y probablemente lo han hecho infinitivamente mejor de lo que yo pudiera hacerlo; si estáis interesados, no dudéis en leer las entradas a las que he enlazado).

Pero yo no y es que ayer mientras estaba leyendo mis feeds me encontré con una portada en Menéame de hace un par de días en las que se enlazaba a un excelente artículo sobre El Problema Monty Hall. Es probable que a muchos os suene ya, de hecho en la película 21 Black Jack lo comentan al principio (toda la película gira en torno a eso).

Básicamente la situación es la siguiente:
Has decidido participar en un concurso televisivo, después de derrotar a tus oponentes con tus grandes habilidades (físicas y mentales) llegas a la última prueba, en ella un guapo presentador te enseña tres puertas, detrás de una de ellas se encuentra un gran permio (introducid aquí vuestro premio soñado: un viaje, un coche, un apartamento en Benidorm en multipropiedad… lo que sea) y en las otras dos no hay ningún premio (o si lo preferís, hay un premio negativo, por ejemplo, una cabra o 10 kg de tomates). Tú eliges una puerta al azar, tal vez animado por los gritos de tus familiares que están en las gradas o tal vez por pura intuición (recuerda que el número 3 siempre fue tu número de la suerte). El presentador, en lugar de decirte si has ganado el coche o si por el contrario has ganado una preciosa cabra y [edito: parece que no quedó claro esta parte para algunos, el presentador sabe dónde está el premio, como en todos los concursos].. enseña su fantásticas sonrisa blanqueada y decide abrir una de las dos puertas que no has escogido y en la que había… ¡una cabra! Entonces se dirige a ti y te vuelve a preguntar si en realidad estás seguro de tu decisión o si prefieres, por el contrario, cambiar de puerta… Ahí está el quid de la cuestión, ¿qué haces? ¿Mantienes tu decisión (como buen hombre -o mujer- viril que eres)? ¿O por el contrario la cambias?

A priori la pregunta puede parecer estúpida, ya que si te dan a escoger entre dos puertas, ¿ambas tendrán un 50% de posibilidades (1/2) de contener el coche, no? Con lo que la suerte, el azar o El espagueti volador serán quienes decidan si te llevas el coche o no. ¿Verdad? Pues no.

Voy a intentar explicarlo con mis palabras, no soy una persona de ciencias ni el tema de las probabilidades es algo que me apasione, pero después de hablar con algunas personas y razonar un poco creo que estoy facultado para intentar explicarlo: Cuando el presentador nos ofrece las tres puertas, cada una de ellas tendrá 1/3 de posibilidades de contener el premio (el coche en este caso) y 2/3 de no contener el premio (es decir, de llevarnos la cabra). Hasta ahí todo claro, no hay trampa ni cartón. Pero el problema viene cuando el presentador (que ya sabe dónde está el premio) abre una puerta que contiene una bonita cabra, puesto que ahí nos hemos quedado con dos puertas: en una tenemos el premio y en la otra no. La lógica nos puede llevar erróneamente a pensar que las probabilidades de llevarnos el premio o no son las mismas, pero eso no es cierto. Lo que debemos tener claro es que las probabilidades nunca cambian, es decir, si al principio teníamos 1/3 de posibilidades de llevarnos el coche con nuestra puerta, ahora que únicamente hay 2 puertas en juego seguiremos teniendo ese mismo porcentaje, mientras que la otra puerta que queda, engloba el 2/3 de las posibilidades de llevarse el premio. Con lo que siempre la opción más acertada es cambiar.

¿Demasiado rápido? Pongamos otro ejemplo: Tenemos 100 puertas y tú escoges una al principio con lo que tendrás 1/100 de posibilidades de acertar, ¿verdad? Si el presentador [edito: parece que no quedó claro esta parte para algunos, el presentador sabe dónde está el premio, como en todos los concursos] va abriendo puertas hasta dejar una única puerta cerrada (más otra que es la que tú tienes) y en ese momento te dice qué es lo que quieres hacer, lo que deberías hacer es cambiar sí o sí, ¿o es que sigues creyendo que ambas puertas tienen un 50% de posibilidades? Bueno, si lo piensas en frío tal vez sí, pero no hay que olvidar que hay otras 98 puertas abiertas y sin premio:

-1/100 son las posibilidades que tenemos de que nos toque el premio con la puerta que escogimos al principio (sí, no cambian por mucho que ahora mismo sólo existan 2 puertas).
-99/100 son las posibilidades que tiene la otra puerta, ya que en las otras 98 puertas no estaba el premio.

La cosa se resume en que es menos probable que nos toque el premio escogiendo cuando hay más elecciones a cuando hay menos elecciones. En estos casos siempre es mejor cambiar de puerta, tenemos más opciones. Aquí lo tenéis explicado de forma gráfica, por si resulta más intuitivo:

Una de las tres puertas

E incluso en forma de vídeo (en inglés, pero se entiende):

Después de esta pequeña explicación, ¿alguno sigue creyendo que lo mejor es quedarse con la puerta que escogió al principio? ¿Que siguen teniendo un 50% (1/2) de posibilidades de que le toque el premio? Si es así, id al frigorífico, coged una bebida fría, haced scroll hasta arriba y volved a leeros esta entrada… y si aún así seguís pensando lo mismo, no tenéis perdón de Dios.

15. September 2008 by José Luis Merino
Categories: General, Reflexiones | Tags: , , , , , , , , , , , , , , , | 17 comments

Comments (17)

  1. Dos para pez, por favor

  2. Jeje, nunca se me había ocurrido esto, pero tras ver el vídeo me quedó todo claro (es el único que me lo ha explicado de tal forma que lo entienda). Tiene su lógica lo de 33%/66% y 66%/33%.

    Para cuando vaya a un concurso (buff), ya sabré qué hacer.

  3. Has desmontado el concurso de “Allá tú”, ya podéis ir a ganarlo…

  4. Eso es teoria de la estadística, pero no es cierto en la realidad. Una vez abierta la puerta de la cabra, la posibilidad de que este en una puerta o en otra es del 50% con respecto a la situacion actual. Pueden desarrollar mil teorias de probabilidad estadística que demuestren lo que tu dices, pero simplemente utiliza un poco la logica: cada vez q se abre una puerta, se vuelven a abrir las probabilidades en partes iguales entre las puertas restantes.

  5. Lo primero, una cabra no es un “premio negativo”. Todo el mundo querría tener una en su casa…
    Y segundo, estoy de acuerdo con @Leto. Aparte, que siendo mal pensado, los de los programas de la TV creo que tb pensarán esto, y lo harán al revés, por lo que ya hay que pensar que es lo que no hay que hacer…
    En resumen, cara o cruz xD

  6. José Luis Merino

    noether: pez para dos, por favor.

    RaFa…eL: Pues explícaselo a Leto y Pat, que parece que aún no les entra en la cabeza…

    Isa: No, yo no he sido. Y en el caso de Allá tú es distinto, ya que no es el presentador quien abre las cajas, sino el propio concursante al azar, pero estuve viendo unos cálculos y en general decían que lo mejor era cambiar de caja, ya que cuanto más tiempo sigas jugando más dinero te pueden ofrecer, et c.

    Leto: Las probabilidades siguen siendo las mismas cuando se abre la puerta, ahí está la ilusión del 50%. Lee http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem y sobre todo “Why the probability is not 1/2”

    Patoroco: Cierto, una cabra mola mil. Y te digo lo que a Leto, a ver, es un ejemplo hipotético (aunque en su momento fuera un concurso real), está claro que el presentador no va a abrir la puerta tras la que se esconde el premio si tú has escogido la errónea (y tampoco si has escogido la buena, evidentemente)… él quiere dar emoción al asunto y como sabe dónde está el premio siempre abrirá una puerta sin premio y al hacerlo tu puerta no se convierte automáticamente en el 50%, ya que la probabilidad de que tengas el premio sigue siendo del 33% y en el resto de puertas el 66% (que en este caso es únicamente 1).

  7. Pues vale me he le{ido todo el post (pense que no iba a terminar) por aqu{i raras veces hay ese tipo de concursos, en fin si no me gano el coche, la cabra no me caería nada mal hjejeje bueno a propósito espero me envíes la invitación de tuenti.

  8. Estoy con Pat y Leto, porque en el momento de elegir tu puerta tienea la probabilidad de 1/3 y las otras tambien 1/3. ¿Por que al abrir la erronea solo actualizas la probabilidad de una puerta solo? Hay que actualizar las dos, 2/3 o 50%(Que es la mas correcta).

    Las matematicas no mienten, pero puedes enrrevesar las cosas para hacer creer otra cosa, aun asi 2+2=4

  9. Pues a mí me ha convencido el vídeo, chicos. Tienes más oportunidades de ganar si cambias de puerta que si no la cambias. Ahora, que yo si voy a un concurso, y con mi “buena” suerte, lo más seguro es que cambie o no, me llevo la puta cabra.

  10. es más sencillo de explicar así:

    cuando tú eliges una puerta al principio del programa, tienes más posibilidades de NO haber acertado que de haber acertado (1/3 de acertar frente a 2/3 de no acertar). por lo tanto una vez abierta una de las puertas que no has elegido, y dado que tenías desde el principio más probabilidad de no haber acertado, lo mejor es cambiar.

    o algo así :

  11. olvidaba la conclusion final: no es cuestión de la probabilidad de que esté en una puerta o en la otra, es cuestión de la probabilidad de haber acertado al principio o no.

  12. Lo que hay que mirar es la probabilidad de que estén en una puerta al principio o no, y las tres puertas tienen la misma probabilidad (1/3).

    Cuando abres una puerta y hay un mal premio sabes que el premio bueno va a estar en una de las dos puertas, y ambas con las mismas probabilidades. Así que como la probabilidad total tiene que ser uno, la probabilidad de que el premio esté en cada una de las puertas es 1/2.

  13. Esa demostración esta mal, prueba todas las posibles combinaciones y veras que te qdan premio el mismo numero de veces en la q eliges q en la q podrias cambiar.

    Q manera de trucar el esquema , no siempre q cambias la puerta , al haber elegido cabra da premio , por q la q cambias puede ser la otra cabra , ya pero me direis pero es q si se a abierto la del premio termina el juego , ya pero aunq termine hay q contarlo para la probabilidad.

    Es decir te falta , un rama en ese bonito esquema , que al elegir cabra quedandotela , y al cambiarla te toca cabra.

  14. José Luis Merino

    @Richi: No hay nada trucado, creo que no has seguido toda la explicación: El presentador sabe dónde está el premio, así que cuando tú eliges una puerta (supongamos, como tú dices, que eliges una cabra) él abre una puerta y siempre abre la puerta que no tiene premio, puesto que entonces se acabaría el programa. De todos modos la formulación es sobre 2 puertas (una con premio y otra sin él) si se ha abierto una sin premio ya, no veo nada erróneo en la formulación.

  15. @José Luis q pasa cuando abre la puerta con premio , no se cuenta eso para la probabilidad ? no se puede decir q termina el programa , y como termina no entra en el problema , eso es una rama mas en el esquema en la q pierdes lo q hace q tenga las mismas posibilidades.

    Haz la prueba prueba todas las posibles combinaciones , como si estuvieras jugando y veras q de las seis combinaciones q hay en dos ganas la q te quedas y en dos la q puedes cambiar. Es decir misma probabilidad.

  16. @richi: Parte de las normas del juego es que el presentador no abrirá la puerta donde hay un coche. Esto hace que estas posibilidades no entren en el juego y por tanto no deban ser contadas.

    Quien todavía tenga dudas para entender este problema, y piense que “abrir más puertas no importa”, que imagine el caso en que hay 100 puertas. Tú eliges la 56. El presentador entonces abre todas las demás puertas menos la 37. Sólo quedan dos posibilidades: la puerta 37 y la 56. Al principio de todo estas puertas tenían iguales propiedades: podían contener un coche en 1/100 de probabilidades. Pero ahora la 37 tiene un mérito adicional: haber sobrevivido al “abrimiento de muchas puertas que no contienen un coche”. Sólo será una puerta mala en un caso: el coche está en la 56. El presentador ha abierto todas menos una evitando el coche, pero como el coche está en la que elegiste no ha tenido ningún problema. Este caso sucederá un 1% de veces; el 99% restante el presentador habrá dejado la puerta remanente cerrada (en este caso la 37) porque es la que contiene el coche.

    Si en lugar de 100 puertas hay 3 esto no quita validez al hecho de que la puerta remanente que el presentador te deja como alternativa ha sobrevivido a un abrimiento de puertas sin premio (en este caso sólo una). Y sigue siendo cierto que sólo en un caso esa será una mala puerta: si el premio estaba en la originalmente elegida por ti, cosa que con 100 puertas sucedía en 1/100 casos pero con 3 puertas sucede en 1/3 casos.

    Por otro lado quien no entienda el problema puede pedir más explicaciones, pero no cuestionarlo ya que es un tema completamente probado y que no admite ningún tipo de dudas.

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